La elección óptima

Un problema muy común en microeconomía es, dada una función de utilidad, calcular el consumo óptimo de un sujeto al tener una renta fijada y un precio para cada bien. A continuación vamos a detallar como se tendría que calcular y también algunas excepciones que nos podemos encontrar.

Un punto importante es que hay que tener en cuenta que hay muchos tipos de funciones, Leontief, Cobb-Douglas, etc.

Para comenzar vamos a empezar un ejercicio con una función Cobb-Douglas.

Cobb-Douglas

Estas funciones tienen la siguiente estructura:

Imaginemos que tenemos una renta de 100€ y consumimos dos elementos, pan y agua, una barra de pan cuesta 1€ y una botella de agua 2€. Dada esta información tenemos que calcular el consumo óptimo de cada bien con la siguiente función de utilidad:

Resolución:

En primer lugar, para que nos sea más cómodo, llamaremos al pan "bien x" y al agua "bien y".

En segundo lugar, a la hora de calcular el consumo óptimo de un bien dada una función de utilidad lo que queremos realmente hacer es optimizarla para una restricción concreta, esto es, nuestra restricción va a ser la llamada restricción presupuestaria, lo cual significa que la cantidad de pan que yo utilice multiplicada por su precio más la cantidad de agua que utilice multiplicada por su precio no podrá superar la renta que yo tengo:

Lo que tenemos que hacer ahora es calcular la RMS (Relación Marginal de Sustitución) e igualarla al precio del bien x entre el precio del bien y:

Como vemos, la RMS se calcula mediante las derivadas parciales respecto x y respecto y:

Entonces ya podemos construir las restricciones:

A partir de aquí, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones despejando x e y para poder obtener sus respectivas funciones de demanda, lo más como es por sustitución. Nos tienen que dar las siguientes funciones:

Solo nos queda sustituir m=100, x=1 e y=2:

Como podemos ver, con una renta de 100€, los precios mencionados y sus preferencias, el sujeto consumirá 25 barras de pan y 50 botellas de agua. La gráfica sería la siguiente:

El punto marcado sería el punto óptimo. Ahora lo que podemos observar es una cosa muy importante, la restricción presupuestaria, esto es, el punto A tiene que pasar por dentro de la recta presupuestaria:

Leontief

(Próximamente)