Multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange se utilizan para optimizar funciones multivariables sujetas a una restricción. Con este procedimiento podremos obtener máximos y mínimos relativos y/o absolutos, dependiendo de si la matriz depende del punto o no y dependiendo de la restricción, donde utilizando el Teorema de Weierstrass (T.W.) nos aseguraremos de si existen máximos o mínimos absolutos.

Para empezar a optimizar hay que introducir el concepto de lambda (λ), que restará a nuestra función, por lo tanto tendremos: 

*El símbolo +/- va variando dependiendo de si eres matemático o físico, en nuestro caso lo haremos matemáticamente, por lo que restaremos lambda

Teorema de Weierstrass:

Dado que lo vamos a utilizar lo tendremos que introducir. Este teorema nos dice que si una función es compacta (cerrada y acotada) y continua tendrá máximos y mínimos ABSOLUTOS.

Será nuestra restricción (en caso del sistema bidimensional).

              Será nuestra función a optimizar (en caso del sistema bidimensional)

Por lo tanto, esta será nuesta función:


Una vez construida nuestra función lagrangiana tendremos que anular las derivadas parciales de la función lagrangiana, o lo que es lo mismo, anular el vector gradiente exigiéndole que sea 0:

Una vez hemos llegado aquí, tendremos que resolver el sistema de ecuaciones que nos ha quedado, en nuestro caso 3 dado que era un sistema bidimensional más lambda. Este es el paso más complicado. Además, también tendremos que hacer previamente las derivadas parciales de la restricción para que "no se nos escapen puntos", en caso que nos salgan otros puntos en la restricción también los tendríamos que comprobar en la matriz ampliada, cosa que veremos a continuación con un ejemplo.

Ejemplo:

1. Tenemos nuestra función y restricción:

2. Comprobamos si la restricción tiene puntos ocultos (anulando del vector gradiente) y si se puede emplear el Teorema de Weierstrass:

La función es cerrada pero no acotada, por lo que no es compacta y no podemos utilizar el T.W. y a continuación comprobaremos si se nos escapan puntos.

3. Construimos la función lagrangiana:

Con ello obtenemos:

4. Ahora tenemos que comprobar que tipo de punto es, así que utilizaremos la matriz Hessiana ampliada:

5. Ahora calculamos el determinante (mediante la regla de Sarrus) y veremos si obtenemos un máximo o mínimo y si es absoluto o relativo:

Al ser negativo tenemos un mínimo condicionado local pero, debido a que la matriz no depende del punto podemos afirmar que el punto (1/2, 3/2, 3/2) es un MÍNIMO ABSOLUTO.