Teorema de la Función Implícita

El teorema de la función implicita nos permite ver la dependencia de las variables de una función. Para ello tenemos que comprobar que la función cumple una serie de caracterísitcas, que veremos a continuación, en un punto determinado.

 

1. En primer lugar, tendremos que pasar nuestra ecuación a una función y veremos de que punto parte (p.e. R^2) y donde llega (p.e. R^3).

2. En segundo lugar, tendremos que comprobar si sustituyendo el punto dado en nuestra ecuación nos da 0, sino no se puede aislar la variable en el punto determinado.

3. En tercer lugar, hallaremos la derivada parcial de la variable que queremos aislar y la sustituiremos en el punto que nos den. El resultado tendrá que ser distinto a 0.

4. Por último, tendremos que hallar el vector gradiente de las derivadas parciales del resto de variables respecto de la que queremos aislar.

Ejemplo: compruebe si existe zø(x,y) respecto a la ecuación e^(xy-y+1)+5z+3y^2+z^2=0 en P=(0,1,-1) y haga los cálculos correspondientes:

1.

2.

3.

4.

Rtdo/interpretación: Esto significa que x disminuye al variar z y que y se mantiene al variar z. Con ello tenemos:

El problema ya estaría resuelto, sin embargo, también podemos hallar el plano tangente de zø(x,y), pero ahora en el punto (1,1,1):

1. En primer lugar, emplearemos la siguiente fórmula:


2. A continuación, y por último, calcularemos sustituyendo los números, así que veamos: